抚养责任主要指的是父母对未成年子女的抚养义务，这是法定的义务，不能逃避。如果一方逃避抚养责任，其法律后果主要包括以下几个方面：

1. 赡养费支付：根据《婚姻法》第三十七条的规定，离婚后，不直接抚养子女的一方应当负担部分或者全部抚养费。对方逃避抚养责任，未支付抚养费，可被法院强制执行。

2. 法律诉讼：如果逃避抚养义务的一方拒绝支付抚养费，另一方可以向人民法院提起诉讼，法院有权判决逃避责任的一方支付抚养费。

3. 刑事责任：在极端情况下，如逃避抚养责任导致子女生活困难，可能构成遗弃罪，根据《刑法》第二百六十一条规定，对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。