证明老公和小三以夫妻名义生活的证据是：

　　1.书面证据。对方因婚外情被曝光，在情急之下写的表示悔改的“保证书”、“道歉书”等；以及对方单位在查实其婚外情后，对其作风问题作出处理的书面材料；

　　2.电子证据。对方与小三之间的短信、电子邮件或电话录音等，但短信、电子邮件均应先做公证，再提交法院为宜；

　　3.视频证据。把对方与“第三者”捉奸在床的视频录像或照片，收集此类证据要注意不能侵犯隐私权。单独亲密的视频、照片也仅仅能证明通奸事实，还不足以认定有配偶者与他人同居事实；

　　4.与小三同居所租，或者购买的房子信息。

以夫妻名义同居生活是重婚，重婚是有配偶者又与他人结婚的违法行为即一个人在同一时间内存在两个或两个以上的婚姻关系。有以下情形之一的，则认定为重婚：

　　1.与配偶登记结婚后，与他人又登记结婚而重婚。也即两个法律婚的重婚。有配偶的人又与他人登记结婚，有重婚者欺骗婚姻登记机关而领取结婚证的，也有重婚者和登记机关工作人员互相串通作弊领取结婚证。